      統計学（Ｓｔａｔｉｓｔｉｃｓ）

I. 序論：  統計学とは何か
  統計学においては、或る不確実な出来事 (affairs) に遭遇した時、それに関する数
量的データを集め、分析し、その出来事の実体を知る。「出来事の実体」を知るとは、
出来事の母集団(population) を量的に表した母集団パラメタ（母数； population
parameter) を知ることに外ならない。これを知るには、
  （１）記述統計学(descriptive statistics; Route 1）と
  （２）帰納統計学(inductive statistics; Route2）
              ＝統計的推論（statistical inference)がある。
の２方法（路）がある。

              Route 1    Route 2

出発点}        母集団 Population
                  ｜       ｜
                  ｜       ↓--- Step 1（標本導出 Sampling)
                  ｜     標本 Incomplete Sample
                  ｜       ｜
        (記述)--- ｜       ↓--- Step 2 (計算 Computing)
                  ｜     統計量 Statistic
                  ｜       ｜
                  ↓       ↓--- Step 3 (統計的推論 Statistical inference)
目標点}        母数 Population Parameters

この内、Route 2 が重要である。その統計的推論には、二つある。
  （１）推定(Estimation)： 母数値に関して、事前(a priori)に何の仮設をもたない。
ただ、それらがどんな値をとるか正確な考えを持ちたい。
  （２）検定(Hypothesis testing)： 母数（パラメタ）が、特定の値を示すのでない
かと事前の推測している。それで、その推測（した値）が正しいか否かを決めたい。


 II. 偶然の出来事の量的取扱いと確率分布
２－１。偶然変数(random variable; variate)と偶然事象(random event)
●偶然変数（偶然変数）  変数(varibale)とは、変化する数（量）である。変数
には、作意によらず、自然にバラバラと変わるものがある。この性質をもった変数を
偶然変数(random variable)という。

●偶然事象  いま問題の偶然変数が変化するのは、「それを変化させる原因
となる出来事」があると考える。この出来事を、偶然事象(random event) と呼ぶ。
（偶然事象は、偶然試行 (random trial) が可能な事象と言うことも出来る。）

●偶然事象の（起きる）確率  偶然事象 E がｎ回の偶然試行で、ｒ回生じた。
すなわち、相対度数 ｒ／ｎであった。ｎ → ∞ にすると、ｒ／ｎ → ｐ に近づく。
この時、偶然事象 E が生じる確率を、

        ｐ＝ｐ(E)

と定義する。

●一般事象と基本事象  問題の事象 events を分けて行き、これ以上分けられ
ない事象を基本事象 (elementary events) という。今問題にしている事象は、ｎ個の
基本事象の集合Ａ

      {Ａ1, Ａ2, Ａ3, ......Ａn}

で表わす。一般の事象ａは、この事象Ａの部分集合（r元の基本事象集合）

      {Ａ1, Ａ2, ......Ａr}

で表すことができる。

●事象、基本事象の例
コイン投げ      ｛head 出し, tail出し｝
サイコロ投げ    ｛１の目出し，２の目出し，．．．．．６の目出し｝
壷内球取り出し  ｛１番球取り，２番球取り，．．．．．Ｎ番球取り｝
試験            ｛第１細部書き、第２細部書き，．．．第Ｎ細部書き｝

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
（注）
集合としての事象
全事象  whole event                     Ｉ
空事象  empty event                     θ
余事象  complementary event             not E or Eｃ
和事象  sum event                       E１ ∩ E２
積事象  product event                   E１ ∪ E２
背反事象 exclusive event                E１ ∪ E２＝θ
（注終わり）


２－２。１つの偶然変数
●１つの偶然変数の期待値（平均)・分散  事象Ａが

        ｜Ａ1｜
        ｜Ａ2｜
        ｜・ ｜
        ｜・ ｜
        ｜Ａn｜

なる基本事象からなる。各々の基本事象が起きたとき、それぞれ

        {ｘ1, ｘ2, ｘ3, ......ｘn}

なる実現値を取る。このとき、

        ｘi＝Ｘ(Ａi)   ( i＝1,2...n )

と表し、Ｘを事象Ａの偶然変数（偶然変数；変量）という。各基本事象の生じる確率

        ｐi＝ｐ(Ａi)   ( i＝1,2...n )

のとき、偶然変数Ｘの期待値（平均）は

        Ｅ(Ｘ)＝Σ(Ｘi・ｐi)     ( i＝1,2...n )
                 i
その分散は、

        σ2(Ｘ)＝Σ（Ｘi－Ｅ(Ｘ)）²ｐi
                 i
         ＝Σ（Ｘi）²ｐi－Ｅ(Ｘ)²ｐi
である。

●偶然変数の（決める）分布  上述のような事象Ａの偶然変数 Ｘの実現値

        {ｘ1, ｘ2, ｘ3, ....,ｘn}

の内、等しいものがあり（ｘi＝ｘj）、

        {ｘ'1, ｘ'2,  ....,ｘ'r}

のｒ個のみ値が違う事がある。そして、Ｘが値 ｘ'i を取る確率

        ｑi ＝ｐ(Ｘ＝ｘ'i)          ( i＝1,2...r )

とする。このとき、この確率の一まとまり

        {ｑ1, ｑ2, ｑ3........ｑr}

を、偶然変数Ｘが作る（定める）確率分布 (probablity distribution made by 
the random variable) という。

        ｑi≧0,                 ( i＝1,2...r )
        Σｑi＝１
である。

●特性偶然変数（characteristic random variable）  事象 Ｅがある。
それが生じたとき、生じないときのとる偶然変数の実現値、

        Ｘ(Ｅ)＝１,        Ｘ(Ｅc)＝0

である。このとき偶然変数Ｘを、特徴偶然変数をいう。イベントＥが生じる
確率、生じない時のそれが、

        ｐ(Ｅ)＝ｐ,         ｐ(Ｅc)＝ｑ＝１－ｐ

であるとき、イベントEの 特徴偶然変数Ｘ の期待値

        E(Ｘ)＝1*ｐ+0*q ＝ｐ
分散は、

        σ2(Ｘ)＝(1－ｐ)²ｐ＋(0－ｑ)²ｑ＝ｐｑ

である。

●事象集合、基本偶然事象、偶然変数、期待値、分散の例
◆コイン投げ事象
  基本偶然事象＝｛head投げ, tail投げ}
  偶然変数：賞金,その実現値＝｛50円，100円｝
  head投げの確率＝{.5, .5 }
  偶然変数の期待値＝50*.5＋100*.5＝75円
  偶然変数の分散＝(50－75)^2*.5＋(100-75)^2*.5＝625円
◆サイコロ投げ事象
  事象＝｛1の目，2の目，．．6の目｝
  変数：サイコロの目数。その実現値＝｛1，2，．．．．6｝
  確率＝ {1/6, 1/6, . . . }
  期待値＝3.5
  分散＝
◆壷内球取り出し事象
  基本事象＝｛１番球，２番球，．．．．Ｎ番球｝
  変数：玉に書いてある番号（どの玉か）＝｛１，2，3，．．．．N｝


２－３。二つ以上の偶然変数
  いままで、単一の偶然変数について、扱ってきた。しかし、通常、ばらばらの値が
生じるのは、複数の偶然変数が関与し、それらが総合した結果であると考えら
れる。

◆例１：一クラスの生徒の身長事象
　偶然変数：身長の細部・細部の長さ（部分別）
    Δｈ1, Δｈ2, Δｈ3 . . . . Δｈz

  事象：それぞれの変数を規定するもの。例えば、 親からの遺伝 E1 を受ける、
    親からの遺伝 E2 を受ける ・・。食事 Ei を取る、食事 Ej を取る ・・。
    運動 Em する、・・ 睡眠 Ex する ・・等々。
  確率＝{ ｐ1, ｐ2, ｐ3, . . . . . ｐn}

とするとき、その総和としての身長
      ｈ＝Δｈ1＋ Δｈ2＋  . . .＋Δｈn
がきまると考えられる。

　そこで、ここでは、ｎ個の互いに独立な偶然事象群  

        { Ａ1  Ａ2 ・・Ａn }

があり、それぞれ

        { Ｘ1  Ｘ2 ・・Ｘn }

の偶然変数群をもち、これらがそれぞれ、確率的に生じるとき、それらの総和

        Ｓn＝Ｘ1＋Ｘ2＋Ｘ3.......Ｘn

が、どのような統計的性質を示すかを問題にしよう。

２－４。二項分布(binominal distribution) Ｂ(ｎ,ｐ)
  互いに独立な偶然事象群Ｅ

        {Ｅ1, Ｅ2, Ｅ3, ......Ｅn}

があるとする。いま簡単にするため、それぞれが、「特徴偶然変数」

        ｛Ｘ1, Ｘ2, ..........Ｘn}

であるとき、すなわち

         Ｘi＝1,   Ｘic＝0       (i=0,....n) 

を取り上げる。それぞれの事象の起きる確率は

        ｐ(Ｅ1)＝ｐ(Ｅ2)＝.......＝ｐ(Ｅn)＝ｐ （生じない確率  １－ｐ）

である。このとき、

        Ｓn＝Ｘ1＋Ｘ2＋Ｘ3.......Ｘn

が、ｘ となる（つまり、ｘ回起きる）確率は、

        ｐ(Ｓn＝ｘ) ＝ nＣx・ｐ^x（１－ｐ）^n-x

となる。そのときの期待値、分散は

        Ｅ(Ｓn)＝ｎｐ
        σ2(Ｓn)＝ｎｐ（１－ｐ）

である。ｐ、ｎ によって、平均［ｐ(Ｓｎ＝ｘ) の最大になる所］がきまる。分散も
決まる。

●二項分布 Ｂ(ｎ,ｐ) で Ｓn/ｎ、すなわち、その平均をとると、

        Ｅ(Ｓn/ｎ)＝ｐ

        σ2(Ｓn/ｎ)＝ｐ（１－ｐ）

となる。

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
（注）
                _n
        Ｅ(Sn)＝Σｘ・［nＣx・ｐ^x・（１－ｐ）^n－x］
                ^x=0

                 _n
        σ2(Sn)＝Σ（ｘ²・［nＣx・ｐ^x（１－ｐ）^n-x］－μ²）
                 ^x=0
（注終り）

●二項分布の例
◆コインｎ個（ｎ回）
    基本事象：head出る
    変量：全部 1 or 0
    それが、生じる確率：全部 p≒0.5
    x 個（回）生じる確率:
◆試験（細部分）の点数（？）
    基本事象：細部分ｉ（ｉ=1,2,3....n）を正解する事
    変量： 正解に対する点数大体同じ
    それが生じる確率： 全部大体 p
    x 個 生じる確率:

●場合の数
  基本事象 Ａがある。Ａは生じたり（１）、生じなかったり（０）する。
（=probabilistic event）Ｎ回繰り返す（同じevent Ｎ個を同時におこす）とき、
ｘ回（ｘ個）生じる場合の数：  nＣx

＜Prog 2-1＞
階乗、順列、組み合わせの計算：20個のときの場合の数
20 Ｃ  0＝1
20 Ｃ  1＝20
20 Ｃ  2＝190
20 Ｃ  3＝1140
20 Ｃ  4＝4845
20 Ｃ  5＝15504
20 Ｃ  6＝38760
20 Ｃ  7＝77520
20 Ｃ  8＝125970
20 Ｃ  9＝167960
20 Ｃ 10＝184756
20 Ｃ 11＝167960
20 Ｃ 12＝125970
20 Ｃ 13＝77520
20 Ｃ 14＝38760
20 Ｃ 15＝15504
20 Ｃ 16＝4845
20 Ｃ 17＝1140
20 Ｃ 18＝190
20 Ｃ 19＝20
20 Ｃ 20＝1

＜Prog 2-2＞
二項分布のエミュレート：起きる確率が大となると、確率分布の最大が、よく起きる
方に移動する。
Total events =20
起きる確率p =0.20      0.40      0.60        0.80

生起回数              その確率
( 0）       1.2         0.0        0.0        0.0
( 1)       *5.8         0.0        0.0        0.0
( 2)       *13.7        0.3        0.0        0.0
( 3)       *20.5        1.2        0.0        0.0
( 4)       *21.8        3.5        0.0        0.0
( 5)       *17.5       *7.5        0.1        0.0
( 6)       *10.9       *12.4       0.5        0.0
( 7)       *5.5        *16.6       1.5        0.0
( 8)        2.2        *18.0       3.5        0.0
( 9)        0.7        *16.0      *7.1        0.0
(10)        0.2        *11.7      *11.7       0.2
(11)        0.0        *7.1       *16.0       0.7
(12)        0.0         3.5       *18.0       2.2
(13)        0.0         1.5       *16.6      *5.5
(14)        0.0         0.5       *12.4      *10.9
(15)        0.0         0.5       *7.5       *17.5
(16)        0.0         0.0        3.5       *21.8
(17)        0.0         0.0        1.2       *20.5
(18)        0.0         0.0        0.3       *13.7
(19)        0.0         0.0        0.0       *5.8
(20)        0.0         0.0        0.0        1.2

mean        4.0        8.0        12.0        16.0
sgm^2       3.2        4.8        4.8         3.2

＜Prog 2-2D＞
二項分布のエミュレート：total events が増すと、分布が左右対照に近くなる。
起きる確率p =0.40
総事象数= 5       10      15     20
          
(  1)   25.92    4.03    0.47    0.05
(  2)  *34.56   12.09    2.19    0.31
(  3)   23.04   21.50    6.34    1.23
(  4)    7.68  *25.08   12.68    3.50
(  5)    1.02   20.07   18.59    7.46
(  6)           11.15  *20.66   12.44
(  7)            4.25   17.71   16.59
(  8)            1.06   11.81  *17.97
(  9)            0.16    6.12   15.97
( 10)            0.01    2.45   11.71
( 11)                    0.74    7.10
( 12)                    0.16    3.55
( 13)                    0.03    1.46
( 14)                    0.00    0.49
( 15)                    0.00    0.13
( 16)                            0.03
( 17)                            0.00
( 18)                            0.00
( 19)                            0.00
( 20)                            0.00

mean      2.00    4.00    6.00    8.00
sgm^2     1.20    2.40    3.60    4.80


２－５。正規分布 normal or Gaussian distribution Ｎ(μ，σ2）
正規分布では、標準化した偶然変数の確率密度関数は

                     １                  ｕ²
        ｐ(ｕ) ＝ ───── ｅｘｐ(－ ───)
                   √2π￣               ２

である。その平均、分散は

        Ｅ(ｕ)＝ 0
        σ2(ｕ)＝ １

         ∽
        ∫ ｐ(ｕ)dｕ ＝ １
         －∽

●二項分布 Ｂ(ｎ,ｐ) との関係。二項分布を示す偶然変数ｘを標準化 、すなわち

               ｘi－μ          ｘi－ｎｐ
        ｕ ＝ ───── ＝ ──────────
                 σ          √ｎｐ (１－ｐ)￣

とすると、（ただし、平均μ、標準偏差σ＝√σ2￣ ）

                       １
        Ｅ(ｕ)＝ ───────── ・ (Ｅ(Ｓn)－ｎｐ) ＝ 0
                 √ｎｐ (１－ｐ)￣
                       １
        σ2(ｕ)＝ ─────── ・ σ2(Ｓn) ＝ １
                  ｎｐ(１－ｐ)

        ｐ(ｕ)＝nＣu・ｐ^u（１－ｐ）^n－u

となる。ｐ＝一定で、ｎ → ∞ とすると、ｕ は連続となり、

                     １                  ｕ²
        ｐ(ｕ) ＝ ───── ｅｘｐ(－ ───)
                   √2π￣               ２

と正規分布となる(証明１５－４）。正規分布は、変数Ｘが、多数の互いに独立な原因の
和として生じるとき、現れる分布である。

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
（注）一般に正規分布の確率密度関数は

                    １                 1     ｘ－μ
       ｆ(ｘ)＝ ───── ｅｘｐ{ － ──（────）² }
                 σ√2π￣             2       σ
となる。
（注終り）

●正規分布の確率密度関数
     平均から±1σ  →  （2/3）     68.3%
             ±2σ  →  （1/20）    95.4%
             ±3σ  →  （1/400）   99.7%


           ---------------- 99% ----------------
                 ---------- 95% ----------
      |                ---- 68% ----
   50 +                      |
      |                      |
   40 +                      |
      |                    * | *
   30 +                 *    |    *
      |               *      |      *
   20 +              *       |       *
      |            *         |         *
   10 +         *            |            *
      |      *               |               *
    0 +─* ──+───+───+───+───+── *── magnitude x
           |     |     |     |     |     |     |       Daviation
          3σ   2σ    σ          σ   2σ   3σ      from mean


２－６。その他の偶然変数分布

●指数分布　７ー２参照。
●ポアソン分布　７－３参照。
●ワイブル分布　７－４参照。
●ガンマ分布　７－５参照。


２－７。偶然変数分布（雑）、その他


●偶然変数の和の分布 それぞれが、正規分布 Ｎ(μ1，σ21）、
Ｎ(μ2，σ22）を示す独立なランダム変数

      ｛ X1, Ｘ2 ｝

がある。この時、偶然変数

        Ｘ＝Ｃ1・Ｘ1 ＋ Ｃ2・Ｘ2
は、
        Ｎ(Ｃ1・μ1＋Ｃ2・μ2、 Ｃ1・σ12＋Ｃ2・σ22）
となる。

●偶然変数の算術平均の分布  何れも、正規分布 Ｎ(μ，σ2）を示す独立な
ランダム変数 

      ｛ Ｘ1, Ｘ2, ............Ｘn ｝

がある。このとき、その算術平均

             Σ Ｘi
       Ｘ＝ ────
               n
は
               σ2
       Ｎ(μ，───）
                n
に従う。

---------------------------------------------
（注）偶然変数  Ｘ1，Ｘ2，Ｘ3.....Ｘn の算術平均は

           Ｘ1＋Ｘ2＋Ｘ3＋......＋Ｘn
      Ｘ＝─────────────
                      n
は、
          μ    μ            μ     σ2   σ2           σ2
      Ｎ(──＋──＋．．．＋──，  ──＋──＋．．．＋──）
          n     n             n       n     n             n
                 nσ2               σ2
     ＝ Ｎ(μ，───）＝ Ｎ(μ，───）
                  n²                 n
となる。
（注終わり）

●大数の法則  互いに独立なｎ個の偶然変数

        {Ｘ1, Ｘ2........Ｘn}

がある。それぞれの期待値は、

         Ｅ(Ｘ1)＝Ｅ(Ｘ2)＝.......＝Ｅ(Ｘn)＝ｍ
分散は、
         σ2(Ｘi)≦σ2            (i＝1,2,.....n)

とする。このとき、その平均の偶然変数

                 Ｘ1＋Ｘ2＋......Ｘn
         Ｘ ＝ ────────────
                         ｎ
は、ｎ → 大 とすると、

         ｐ(｜Ｘ － ｍ｜＜ε） → １

とすることが出来る。すなわち、Ｘの期待値は、

         Ｅ(Ｘ) ＝ ｍ

となる。分散は、
                    σ2
         σ2(Ｘ)＝ ───
                     ｎ
となる。

●ベルヌイの定理  大数の法則の特殊の場合。互いに独立なｎ個の事象群

         {Ｅ1, Ｅ2, Ｅ3, ......Ｅn}

がある。それぞれの事象の起きる確率は

         ｐ(Ｅ1)＝ｐ(Ｅ2)＝.......＝ｐ(Ｅn)＝ｐ  （生じない確率  ｐ－１）

いま、「ｒ個が生じる」事象に対応する偶然変数ｒ／ｎを定義する。すると、この
変数は、ｎを大とすると

            │ ｒ       │
         ｐ(│── － ｐ│＜ε) → １        ｎ → 大
            │ ｎ       │

とする事が出来る。すなわち、
            ｒ
        Ｅ(──)＝ ｐ                        ( ｎ → ∽ )
            ｎ

である。なぜなら、
          ｒ       Ｘ1＋Ｘ2＋......Ｘn
         ── ＝ ────────────
          ｎ                ｎ

であるからである。

●中心極限定理  互いに独立なランダム変数

        ｛ Ｘ1, Ｘ2, ............Ｘn ｝

がある。それぞれの期待値、分散が、

      E(Ｘ1),   E(Ｘ2), ......., E(Ｘn)
      σ2(Ｘ1), σ2(Ｘ2), ......., σ2(Ｘn)

のとき、
            {Ｘ1-E(Ｘ1)} +{Ｘ2-E(Ｘ2)} +......+{Ｘn-E(Ｘn)}
      Ｘ ＝───────────────────────
                √σ2(Ｘ1)+σ2(Ｘ2)+......+σ2(Ｘn)￣

の分布は、ｎが大きくなると、Ｘ1, Ｘ2, ......Ｘn  の分布の形にかかわらず、正規
正規分布 Ｎ(0，1）に近づく。

●ランダム変数の和の分布  独立なランダム変数 

         ｛ Ｘ1, Ｘ2, ............Ｘn ｝

がある。それぞれが、

          E(Ｘ1)＝E(Ｘ2)＝.......＝E(Ｘn)＝m
          σ2(Ｘ1)＝σ2(Ｘ2)＝.......＝σ2(Ｘn)＝V

なる同一の分布を取っている。このとき、ランダム変数

          (Ｘ1-m)+(Ｘ2-m)+.....(Ｘn-m)       (Ｘ1+.....Ｘn) - nm
    Y ＝ ──────────────  ＝  ───────────
              √V+V+V+....￣                        √nV ￣

は、ｎ → 大のとき、中心極限定理から、正規分布Ｎ(0, 1）に近づく。それで、
ランダム変数の和変数

	Ｘ＝Ｘ1+Ｘ2+Ｘ3.......Ｘn

は、Ｎ(nm, nV）に近づく。この理由から、ランダム変数は、一般に正規分布を示すこと
が多い。
（例１）二項分布で、ｎ大とすると、

      Ｎ(np，np(1-p) ）

に近づく。偶然変数 Ｘ が 1 を取る確率をｐ、0 を取る確率（１－ｐ）。ｎ回独立
試行を行った。中心極限定理から、

           {Ｘ1-p} +{Ｘ2-p} +...+{Ｘn-p}        (Ｘ1+Ｘ2+...+Ｘn)－ｎｐ
      y＝───────────────── ＝ ─────────────
          √p(1-p)+p(1-p)+.....+p(1-p)￣              √np(1-p)￣

ｎを大とすると、Ｎ(1, 0）に近づく。いま、

      Ｘ＝Ｘ1+Ｘ2+......+Ｘn

とすると、
            Ｘ －ｎｐ
      y＝ ────────
            √np(1-p)￣

である。これは、Ｘ が Ｎ(np，np(1-p) ）に近づく事を意味する。

（例２）ポワソン分布で期待値λが大になると、Ｎ(λ，λ）に近づく。
  独立な偶然変数

          {Ｘ1, Ｘ2}

それぞれ期待値、λ1, λ2 のポワソン分布。このとき、

          Ｘ＝Ｘ1+Ｘ2 
は、期待値 
          λ＝λ1+λ2 

のポワソン分布を示すことが知られている。それで、中心極限定理から、λが大
になる －＞Ｘ の数が増えることである －＞Ｎ(λ，λ）に近づく。



III. 統計分析の基礎１：標本分布
３－１。正規分布をする標本分布
確率密度関数
                 １                  1     ｘ－μ
     p(x)＝ ──────  ｅｘｐ(－ ── (────)² )
            σ √2π￣               2       σ
平均
               ｘ－μ
       E(x)= ─────
                 σ
分散
      σ２(x)=σ²

分布関数
                 １        x               1     ｔ－μ
     P(ｔ)＝ ──────  ∫   ｅｘｐ(－ ── (────)² )
            σ √2π￣    t=-∞            2       σ


＜Prog 3-1＞
Ｘ(σの何倍)を入力し、分布関数Ｇ(範囲 0-1)を得るプログラム。

＜Prog 3-2＞
  分布関数 P(範囲：0-1) になる X(σの何倍)を「はさみ打ち法」によって
得るプログラム。

＜図３－１＞
確率紙に書かれた累積正規分布Ｆｎ（ｘ）のグラフ

●標本平均の分布  Ｎ(μ，σ2）を示す母集団から、ｎ個の標本 

        ｛ Ｘ1, Ｘ2, ............Ｘn ｝ 

が得られた。この標本平均

             ΣＸi
      Ｘ＝ ────
              n
は、
              σ2
      Ｎ(μ, ───）
               n

に従う。もし、母集団が、正規分布でなくとも、平均μ、分散σ2ならば、ｎ大の時、
標本平均の分布は、
                σ2
      Ｎ(μ， ────）
                 n
に近くなる。

-------------------------------------------
(注）（平均）標準誤差 Standerd error of the mean SEM 
                  (precision of means; spread of means)
  一つの標本内の測定値のバラツキは、標準偏差で表す。ｎ個の標本の平均の
バラツキは、標準誤差

                σ2
      SEM ＝ √───￣    (資料が３０以下のときは、ｎのかわりにｎ－１)
                 ｎ
であらわす。
（注終り）

●２つの母集団からの標本の標本平均の差  二つの母集団 

      Ｎ(μ1，σ21),  Ｎ(μ2，σ22）

がある。それぞれから、ｎ1，ｎ2個の大きさの標本を抽出する。各々の標本平均ｘ1，
ｘ2。標本平均の差 ｘ1－ｘ2は、

                      σ21       σ22
       Ｎ(μ1－μ2，──── ＋ ────）
                       n1          n2
に従う。

●比率の分布 毎回出現確率ｐで起こる現象が、ｎ回の試行中、ｋ回起こる
確率は二項分布 Ｂ(ｎ, ｐ)に従う。ｎが大となると Ｎ(nP,nP(1-P))に近づく。
したがって、標本出現率k/nは、近似的に、

               P(1-P)
       N（P, ─────）
                 n
に従う。
 （例）銅貨投げで、表の出る確率 P=1/2であるとき、n=100回試行して表の出る出現率
の分布は、
                                1      1
                          �   ── x ── �
           P(1-P)        1      2      2              1      1
    Ｎ(P, ────)＝Ｎ(──, ─────── ) ＝Ｎ( ──, ───)
             n           2         100                2     400
である。

●比率の差の分布  一つの母集団におけるある事象の毎回出現率がＰで、
これからｎ個の大きさの標本を得たときのこの事象の出現率をｐとする。
また、他の母集団のこの事象の出現率がＱで、これからｍ個の標本を得とときの
標本出現率をｑとする。ｐ－ｑの分布はｎ，ｍが大きいとき、

                 P(1-P)      Q(1-Q)
      Ｎ( P-Q,  ──── + ───── )
                  n            m
に従う。

●正規分布の例：加算平均　生体現象の波形には心電図のように非常に
はっきりした波形もあるが、脳波の誘発電位のように記録波形を見ても、脳波に
かくれてどこにそれが現れているかわからない不明確な場合がしばしばある。平均加算
はこのような波形を明瞭に取り出す方法の一つである。
  誘発電位は、何等かの刺激（たとえは光、音、電気）に応じて、大脳皮質に現れる
電気的な反応である。ただ、これを頭皮上からとる場合、振幅が極めて小さく
（数μＶ）、高振幅の脳波にかくれて検出しがたい。たとえ、周波数帯域フィルターを
使って脳波と誘発電位を弁別しようとしても、両者間に大きな差がないために分離する
ことはむづかしい。この困難を解決するために現れたのが、Dawsonの重ね合わせ法
である。この方法は、刺激時点を原点にとり、それに続く毎回の反応を多重記録する。

＜図３－２＞

  平均加算法も同様で、反応はと脳波が混在している時に、加算によって反応波が
明瞭にする方法である。この方法も同じくDawsonによってはじめられた。図3-2の
ように、刺激時点を同一時相にとって、それに続く毎回の波形を加算する。刺激
で誘発する反応波（信号波）は、加算回数だけ大きくなるのにして脳波のようなラ
ンダムに現れる成分（雑音）は、平均化されて大きくならない。

＜図３－３＞

  誘発電位の振幅 Ｓ、脳波などのランダムに現れる雑音成分の振幅 Ｎ とすると、
ｎ回加算の結果信号成分は ｎＳ になるのに対し、脳波のそれは √ｎＮになる。もと
のＳ／Ｎとｎ回加算後の反応対脳波の比

        (S/N)_n ＝ √n (S/N)

が成立する。それで、雑音に埋もれた記録波形が明瞭に見えるようになる。

●Hastingの近似　誤差関数

                 2       x
     φ(x)＝ ─────  ∫   ｅｘｐ( -ｘ² )
               √π￣    u=0

                               1
      ≒ 1－ ──────────────────────────
              (1+ａ1ｘ+ａ2ｘ²+ａ3ｘ³3+ａ4ｘ⁴+ａ5ｘ⁵+ａ6ｘ⁶)¹⁶

         ａ1＝.0705230784    ａ2＝.0422820123    ａ3＝.0092705272
         ａ4＝.0001520143    ａ5＝.0002765672    ａ6＝.0000430638

と近似できる。正規分布関数は、

                  x                    x
         Ｇ(ｘ)＝ ∫ｐ(ｕ)dｕ ＝ 0.5 ± ∫ｐ(ｕ)dｕ
                 u=－∽                u=0
                    1           Ｘ
        ＝ 0.5 ± ───  φ(────)
                    2         √2￣

ただし、ｘ≧0 ならば＋、ｘ＜0 ならば－。


３－２。χ²分布
●変数の二乗の分布  ｘの分布が正規分布 Ｎ(0,1) ならば、

      χ=ｘ²

の確率密度は
                               1           1
                           － ──     － ──
                   １          2           2
       ｆ(ｘ)＝ ───── ｘ     ・   ｅ           (ｘ ＞ 0)
                 √2π￣

             ＝ 0                                   (ｘ ≦ 0)

●平方和の分布：χ２分布  
  正規分布 Ｎ(0,1) に従う母集団。独立に大きさｎの標本

      ｛ｘ1, ｘ2, ｘ3 . . . . . ｘn ｝

を得る。この標本の平方和

      χ2=ｘ1²＋ｘ2²＋ｘ3² . . .＋ｘn²

の分布（密度関数）は
                         (n/2)-1     -(χ2)/2
       fn(χ2) ＝Ｃ・(χ2)          ｅ

ｆn(χ2)を自由度nのχ2分布という。Ｃ は、Ｆ(∽)＝1 になるようにきめる。
分布の特性は自由度で決まる。０ － +∞ に分布する。

----------------------------------------------
（注）
                   1
      Ｃ＝ ──────────
                n/2      ｎ
              ２     Γ(──)
                         ２

である。ここでΓ(�%)は、ガンマ関数

             ∽   -x   s-1
      Γ(s)＝∫ ｅ ・ｘ   dx
             x=0

           ＝(s-1)(s-2)・・Γ(1≧ s-n ≧0)   (s>0)

である。
（注終り）

●χ2分布の分布関数

                χ2
      F(χ2) ＝ ∫    ｆn(t) dt
                t=0

期待値、分散は

     E（χ2）＝ｎ
     σ2（χ2）＝2ｎ

である。
●χ2分布の性質１  互いに独立な変量ｘ1 とｘ2 があり、ｘ1 が自由度
ｎ1 、ｘ2 が自由度ｎ2 のχ2 分布を示すとき、

      ｘ＝ｘ１＋ｘ2

は、自由度 ｎ＝ｎ1＋ｎ2 のχ2分布に従う。
●χ2の分布の性質２　母集団 Ｎ(μ, σ2) から抽出した、互いに独立の
ｎ個の大きさの標本

      {ｘ1, ｘ2・・・ｘn}

の標本平均、標本分散は、

      ＿     １    n
      ｘ ＝ ──  Σ  ｘi
             ｎ   i=1

              １    n         ＿
      ｓ2 ＝ ──  Σ  (ｘi －ｘ)²
              ｎ   i=1

である。すると、

          ｎ　     ＿
      √───￣・(ｘ－μ）
         σ2

は Ｎ(0,1)に従い、

         ｎ
       ─── ｓ2
        σ2

は自由度(ｎ－１)のχ2 分布に従う。

●Wilson-Hilfertyの近似  自由度ｎのχ2分布において、ｎが大きいとき
（ｎ≧４であれば実用的に使用できる）

            χ2
        （ ─── ）^1/3
             ｎ

は、正規分布
                  ２         ２
      Ｎ( (１－ ─── ),  ─── ）
                 ９ｎ       ９ｎ

に近似的に従う。この関係をつかって、分布の「上側確率域」に相当するχ2分布の
値を求める事が出来る。

        │
 fn(χ2)│         * *
        │       *      *
   頻   │     *           * 
   度   │    *               *
        │   *                     *            上側確率域
        │  *                           *           |
        │ *                           │／／   *
        │*                            │／／／／／／／  *
          ──────────────────────────
        0                                  χ2o             χ2値

  正規分布Ｎ(0, 1) があり、その分布関数Ｇ(ｘ)＝Ｐ となる ｘ の値を ｘp とする。
また、自由度ｎのχ2分布があり、分布関数Ｆ(χ2)＝Ｐ となるχ2の値をχp2とする。
このとき、Wilson-Hilfertyの近似から

        χp2                 ２                ２
      (─── )^1/3 ＝ (１－ ─── ) ＋ ｘp √───￣
         ｎ                  ９ｎ              ９ｎ

である。それで、
                         ２               ２
      χp2 ＝ ｎ{ (1－ ─── ) + ｘp √───￣ }³
                        ９ｎ             ９ｎ

これから、分布上側の確率（ｐ＝１－Ｐ）の χ2分布の値 χp2 が求められる。
  この近似は、自由度 n≧4であれは、小数点下１桁くらいまでは正しい。

＜Prog 3-3＞
Wilson-Hilferty近似による、自由度ｎ、分布上側確率 Pから、χ2値を求める。


３－３。Ｆ分布
●変数の比の分布：Ｆ－分布  互いに独立な偶然変数 Ｘ, Ｙ がそれぞれ
自由度 ｎ1, ｎ2 のχ2分布に従っている。いま比

             Ｘ/ｎ1
      ｙ ＝ ─────
             Ｙ/ｎ2

は、Ｆ分布：

     ｆ(n1, n2 | ｙ)

             n1+n2       n1
         Γ (───) Γ(──)^n1/2
               2n        n2                      n1
     ＝ ──────────── ｙ^(n1/2)-1 (１＋──ｙ）^-(n1+n2)/2
                n1       n2                      n2
            Γ(──) Γ(──)
                2        2

を作る(証明略)。これを自由度 ｎ1, ｎ2 のＦ分布という。自由度ｎ1, ｎ2 によって
その特性が定まる。

●分布関数
               y
      Ｆ(ｙ)＝∫ ｆ(n1,n2 | t) dt
              t=0

●Ｆ分布の期待値と分散  

                    ｎ2
      Ｅ(ｙ) ＝ ──────
                 ｎ2 － ２

                    ２(ｎ1＋ｎ2－２)ｎ2²
      σ2(ｙ) ＝ ─────────────
                 (ｎ1－２)²(ｎ2－４)ｎ1


●ある定数ｙoよりｙが大きい確率
                           ∞
      α＝Ｐr {ｙ＞ｙo} ＝∫ ｆ(n1,n2| ｙ)dｙ ＝１－Ｆ(ｙo)
                          y=yo

である。ｙo は自由度n１,n２およびαから求めることができる。これは

      ｙo＝ｆ(n1, n2, α)

と書き表す。

●Ｆ分布とχ2分布の関係

       χ2(ｎ，α) ＝ ｎ・ｆ(ｎ, ∽, α)

●Ｆ分布とｔ分布の関係

       ｔ(ｎ, α) ＝√ ｆ(1, ｎ, α)￣

●Ｆ分布と正規分布の関係：Paulsonの近似

                  １                    ２
          (１－ ───)ｆ^1/3 － (１－ ───)
                ９ｎ2                  ９ｎ1
      ｕ＝─────────────────
               ２                 ２
          ( ──── ｆ^2/3 ＋ ────)^1/2
              ９ｎ2              ９ｎ1

  Ｆは自由度ｎ1、ｎ2 のＦ分布。ｎ1, ｎ2が大きいときは、ｕ は正規分布 
Ｎ(0, 1）に近似的に従う。ｎ1≧4, ｎ2≧4で、Ｆは小数点下１桁くらいまで正しい。
それで、

      ω1＝2/(9ｎ1),    ω2＝2/(9ｎ2),  ｘ＝ｕ,  ｙ＝ｆ^1/3

とおけば、

             (1-ω2)ｙ－(1-ω1)
      ｘ＝ ───────────
             √ω2ｙ＾2＋ω1￣

      ｘ^2ω2ｙ^2＋ｘ^2ω1＝(1－ω2)^2ｙ^2－2(1－ω2)(1－ω1)ｙ＋(1－ω1)^2
      {(1－ω2)^2－ｘ^2ω2}ｙ^2－2(1－ω2)(1－ω1)ｙ＋(1－ω1)^2－ｘ^2ω1＝0
      A ＝(1－ω2)^2－ｘ^2ω2
      B ＝-2(1－ω2)(1－ω1)
      C ＝(1－ω1)^2－ｘ^2ω1

      Aｙ^2 ＋Bｙ＋C ＝ 0

の二次方程式を解き、ｆ＝ｙ³ から、ｆ を求める。

＜Prog 3-4＞
自由度 n1, n2, 危険率α を与えてｆ(n1,n2,α) を求めるサブルーチン。


３－４。Studentのｔ分布
  変数ｘが正規分布Ｎ(0, 1) に従う。ｙn は自由度ｎのχ2分布に従う。
互いに独立のとき
                ｘ
        ｔ＝ ─────
             √ｙn/ｎ￣

の密度関数は
                       ｎ＋１
                    Γ(───)
                         ２               ｔ²
        ｆn(ｔ)＝ ────────（１＋ ───）^-(n+1)/2
                             ｎ            ｎ
                  √ｎπ￣ (──)
                             ２

で与えられることが知られている。これを、自由度ｎのｔ分布とよぶ。ｔ分布は
自由度ｎだけで、その特性を表す。平均値が０で、密度関数は原点に対して
左右対称、正規分布にかなり似ている。
●ｔ分布の期待値、分散は

      E(ｔ)＝0
      V(ｔ)＝n/(n-2)

●ｔ分布の分布関数
            x
      P(x)＝∫ ｆn(ｔ) dｔ
            t=-∞
である。

●ｔ分布のおいて、変数ｔが、│t│＞ｔo （但しｔoは正の定数）となる確率

                           ∞
       Ｐr (|ｔ|＞ｔo)＝2* ∫ ｆn(ｔ) dｔ＝2*( 1－P(to) ）
                           t=to

である。
                             *
                          *  |  *
                        *    |↑  * 
                       *     | P   *
                     *       |       *
                   *         |頻       *
                 *           |度         *
             * ｜｜          |          ｜｜  *
       ─* ───────────────────*── 
               -|to|         0          |to|      ｔ→

  自由度ｎ、確率 Pr=α のときの to をｔ(n,α)と書く。それで、

      Ｐr ＝2 * { 1－P(ｔ(n,α)) }

したがって、
                            1
      P(ｔ(n,α)）＝ 1 － ── Ｐr
                            2

  ｔ分布は、自由度ｎ＞30 で Ｎ(0, 1）とみなしてよい。そこで、P から、
t(n,a)がえられる。

＜Prog 3-5＞
ｔ(n,α)を求めるプログラム

IV. 統計分析の基礎２：変量の整理と概観
４－１。度数分布
  変量の分布の概観を得るため、ビン巾ごとの度数分布（ヒストグラム）を作る。

＜Prog 4-1＞
度数分布の作成：下記のような２項目6個の変量がある。第一項目のデータを
つかって、ヒストグラムを作る。
┌───────┐
│6  2          │← ６データ、２項目
│  3.    2.8   │
│  6.    5.0   │
│  8.    1.0   │
│  2.    4.4   │
│  5.    5.    │
│ 15.    5.    │
│0   1  15   1 │← 項目、データの最低値、最高値、レンジ巾
└───────┘

その結果：
┌────────────────────┐
│Row=  0   μ=  6.50   σ=  4.27         │
│                                        │
│        x      u        n     Sn      % │
│                                        │
│  ～   1.00( -1.29)     0      0(   0.0)│
│  ～   2.00( -1.05)     1      1(  16.7)│
│  ～   3.00( -0.82)     1      2(  33.3)│
│  ～   4.00( -0.59)     0      2(  33.3)│
│  ～   5.00( -0.35)     1      3(  50.0)│
│  ～   6.00( -0.12)     1      4(  66.7)│
│  ～   7.00(  0.12)     0      4(  66.7)│
│  ～   8.00(  0.35)     1      5(  83.3)│
│  ～   9.00(  0.59)     0      5(  83.3)│
│  ～  10.00(  0.82)     0      5(  83.3)│
│  ～  11.00(  1.05)     0      5(  83.3)│
│  ～  12.00(  1.29)     0      5(  83.3)│
│  ～  13.00(  1.52)     0      5(  83.3)│
│  ～  14.00(  1.76)     0      5(  83.3)│
│  ～  15.00(  1.99)     1      6( 100.0)│
│  ～                    0      6( 100.0)│
└────────────────────┘

４－２。基礎統計量
●平均値  標本

     { ｘ1 ｘ2 .....ｘn }

があるとき、
     ＿     ΣＸi
     Ｘ ＝ ────
              ｎ

を平均値という。
　平均値の意味：測定値には真の値より大なものと小なものが現れる。個々の
測定値Ｘiの真の値Ｘからの偏差ｄの総和は０であるはず。

     Σｄ ＝Σ(Ｘi－Ｘ) ＝ΣＸi－ｎＸ ＝0
                ΣＸi
     ∴ Ｘ ＝ ────
                 ｎ

この意味で「平均」は意味をもっている。

●偏差（deviation form mean）・二乗偏差  ランダム変数の実現値と期待値
（平均値）の差。その二乗。

●偏差平方和（sum of sequares）
            n
     Ｓ ＝ Σ（Ｘi－Ｘ)^2 ＝ Σ(Ｘi^2) －ｎＸ^2
           i=1

偏差平方和の意味：真の値Ｘから測定値が如何にバラつき。単に、偏差の総和
では、Σｄ＝0 であるので指標とならない。Σ｜ｄ｜を使用することも出来るが、普通
は偏差平方総和を使用する。偏差平方和が最小となるようなＸの値は、平均である。
すなわち、

         d Ｓ
      ───── ＝ －2 Σ(Ｘi－ｎＸ )＝0
         d Ｘ

          ∑  ΣＸi
      Ｘ ＝ ────
               ｎ
である。

●分散 variance σ2

     Ｓn(or σ2)＝Ｓ/ｎ

●標準偏差 standard deviation σ
普通、平均±偏差 と表すから、両者のdimensionを合わせた方がよい。それで

     σ＝√Ｓn/ｎ￣

＜Prog 4-2＞
基礎統計量：平均値、偏差、偏差平方和、分散、標準偏差、相関係数の計算プログラム

●変数の標準化 (Normalization) 上記標本を

              ｘi－μ  
      ｕ ＝ ───── 
                σ

とし（ただし、平均μ、標準偏差σ＝√σ2￣ ）、

        Ｅ(ｕ) ＝0
        σ2(ｕ) ＝１

とすること。

●２変量と相関係数  ９－４参照。


V. 推定・検定・分散分析 
５－１。推定(Estimation)
  推定とは、母数値に関して、事前(a priori)に何の仮設をもたない。ただ、それらが
どんな値をとるか正確な考えを持ちたいときにつかう。

●有意テスト（Test of Singificance）  或特定の値が normal variation か、
或はTruly abnormal(or pathological enviroment) の表現の結果かを調べる。
或値がどれだけ平均から偏っていれば異常か。また、どれだけ近ければ正常かは
任意に決められる。生物学では、normal chance deviation  と significant 
difference の線を2％にとる。即ち100回のうち２回、或はそれ以下きり出せない
ような値は 有意に異なる(significantiy different) とする。
  与えられた deviation が正規分布におけて生じる確率(normal deviate) は

      Ｃ＝(ｘ－μ)/σ

である。Normal deviate(C) とそれが起きる確率(P)は、次の通りである。

┌──────────┬──────────┐
｜    (C)     (P)     ｜    (C)     (P)     ｜
├──────────┼──────────┤
｜   0.13     0.9     ｜   1.64     0.2     ｜
｜   0.25     0.8     ｜   1.96     0.1     ｜
｜   0.39     0.7     ｜   2.33     0.05    ｜
｜   0.52     0.6     ｜   2.58     0.02    ｜
｜   0.67     0.5     ｜   3.29     0.01    ｜
｜   0.84     0.4     ｜   3.89     0.001   ｜
｜   1.28     0.3     ｜                    ｜
└──────────┴──────────┘

＜例１＞  鉄の血中濃度の多数の人間の平均は 50mg/100ml でその標準偏差は 
4.5mg/100ml。ある人の血中鉄濃度が、34mg/100ml のとき、この値は異常か？

           ｘ－μ      50－34       16
      C＝─────＝─────＝────＝3.5
             σ         4.5        4.5  

  C＝3.5 が正規分布の一部となる確率は、0.001 以下。従ってこの値は 異常。

●信頼限界(confidence limits)  正規分布の母集団あたえられた％を含む
上限と下限の値（極限の境界）をいう。この例題での９８％の信頼限界（98% を含む)
のは±2.33σ。従って、

      (50±2.33) *4.5＝ 39.5～60.5mg/100ml

がこのrange。


５－２。検定(Hypothesis testing)の考え方
  検定は、母数（パラメタ）が、特定の値を示すのでないかと事前の推論している。
それで、その推測（した値）が正しいか否かを決めたい時につかう。
仮定を立てる。特に否定的な仮定：帰無仮説（null hypothesis）。これを、操作
によって否定する。すると、帰無仮説の逆が「真」となる。
　間違う２つの可能性あり：
第１種の間違い（error of the first kind）：「仮説が正しいのに、捨てる」。
第２種の間違い（error of the second kind）：「仮説が正しくないのに、捨てる」。

５－３。χ2(単一標本)検定(one sample test)
  或母集団があるとき、実測した標本がこの母集団に属するか否かの検定。
いま、ｎ個の実測値

      Ｘ1, Ｘ2・・・・・・Ｘｎ          ・・・・・・・・・(１)

が得られた。これを度数分布表に整理。

      偶然変数    実測度数      理論度数
       0           ｆo          Ｆo
       1           ｆ1          Ｆ1
      ・            ・           ・
      ・            ・           ・
       k           ｆk          Ｆk

期待される母集団から、ｎ個の標本を取り出した時の理論度数Ｆiとする。

                (ｆi－Ｆi)²
       χ2＝Σ ─────
                   Ｆi

χ2 は自由度ｋ-1 の χ2 分布となる。Ｆi＜10 のときは隣の度数と合併。

        χ2 ＞ χ2(k-1, 5%)

のとき、この標本は、母集団に５％の危険率で属さない。

●例１  Coin tossing。１００回投げて６０回。次の結果を得た。これは、
chance か？

┌──┬─────┬─────┐
｜    ｜ 実測度数 ｜ 理論度数 ｜
├──┼─────┼─────┤
｜ 表 ｜    60    ｜    50    ｜
｜ 裏 ｜    40    ｜    50    ｜
└──┴─────┴─────┘

  自由度＝2-1＝1
 χ2＝(60-50)²＋(40-50)²＝2
  χ2(1, 5%)＝3.841  χ2(1, 1%)＝6.635
それで、この変動は、チャンスであると結論。

●例2  Six-side figure があり、なげると、1-6 がでる。６０回の試行。

┌──┬───┬───┬───┬─────┬───────┐
｜    ｜  fi  ｜  Fi  ｜fi-Fi ｜(fi-Fi)²  ｜ (fi-Fi)²/Fi ｜
├──┼───┼───┼───┼─────┼───────┤
｜ 1  ｜ 22回 ｜  10  ｜  11  ｜  121     ｜  12.1        ｜
｜ 2  ｜  8回 ｜  10  ｜   2  ｜    4     ｜   0.4        ｜
｜ 3  ｜ 11回 ｜  10  ｜   1  ｜    1     ｜   0.1        ｜
｜ 4  ｜ 10回 ｜  10  ｜   0  ｜    0     ｜   0.0        ｜
｜ 5  ｜  4回 ｜  10  ｜  -6  ｜   36     ｜   3.6        ｜
｜ 6  ｜  5回 ｜  10  ｜   5  ｜   25     ｜   2.5        ｜
└──┴───┴───┴───┴─────┴───────┘
                                             χ2=21.0
                                             自由度  6－1＝5
      χ2(5, 5%)＝9.488
      χ2(5, 2%)＝13.277
χ2 の値の方が大。したがって、チャンスではない。

●例３　円形馬場レースで、ポスト・ポジション１は、馬場の内側柵に近い。
８は一番外にある。競馬ファンは、このポジションによる損得があると主張する。
レースの結果を分析して、ポジションの影響があるかを検定する。

  (a) 帰無仮定Ｈo： どの位置から出発した勝馬の数に差異はない。それで、
観察される差異は 

      ｆ1＝ｆ2＝ｆ3・・・・ｆ8

という、一様母集団(rectangular population) からのランダム標本にみられる、
バラツキにすぎない。
 （b）統計検定： 我々は１標本（Ｎ＝144  18日間の優勝者の總数）のデータ
から推測した母集団と比較する。検定は、離散的な categories（８つの post 
position）で期待された頻度と観察された頻度を比較する。

┌─────┬──┬──┬──┬──┬──┬──┬──┬──┬───┐
｜  柵      ｜ １ ｜ ２ ｜ ３ ｜ ４ ｜ ５ ｜ ６ ｜ ７ ｜ ８ ｜total ｜
├─────┼──┼──┼──┼──┼──┼──┼──┼──┼───┤
｜ 実測度数 ｜ 29 ｜ 19 ｜ 18 ｜ 25 ｜ 17 ｜ 10 ｜ 15 ｜ 11 ｜      ｜
｜ 理論度数 ｜ 18 ｜ 18 ｜ 18 ｜ 18 ｜ 18 ｜ 18 ｜ 18 ｜ 18 ｜ 144  ｜
└─────┴──┴──┴──┴──┴──┴──┴──┴──┴───┘
  df＝ｋ－１＝7
  χ2＝16.3

  （c）標本分布：χ2の標本分布。 有意水準：α＝0.01とする。棄却域：Ho は
  　　χ2分布が df＝7 の Ho下で生じたとき、確率がα＝0.01以下のとき捨てる。
  （d）決定：Hoである確率
        χ2(7,95%)＝2.03
        χ2(7, 5%)＝14.07 
        χ2(7, 2%)＝16.62 
        χ2(7, 1%)＝18.48
      それで、5% 危険率ではチャンスではない。1% 危険率ではチャンスの可能性
      もあると結論。

●例４  冠状血管栓塞患者を 115 人は治療せず。3年後に14人生き残った。
他の115 人は薬で治療した。生き残ったのは、80人。この薬は有効か。
  この問いに対して、帰無暇説をつかう。今このtreatしたことが無効ならば、ｍ人
生き残るとする。すると、
     df＝1
     χ2＝(80-m)²/115+(14-m)²/115＞18.9
     χ2(1, 5%)＝3.841
それでこれは、チャンスではない。


５－４。Ｆ－検定法、分散分析法（実験計画法）
●２標本平均の差の有意差の検定  Ｆ－分布を仮定。同一母数σ2をもつ
正規母集団からとった２組の標本

    グループＸ ｛ｘ1, ｘ2,・・�% ｘm｝
    グループＹ ｛ｙ1, ｙ2,・・�% ｙn｝

　まず、仮説Ｈとして、「母集団Ｘ、Ｙの母分散が同じ」とする。それで、不変分数
の比をもちいる。

      ＿   １                  ＿   １
      ｘ＝── Σ（ｘi）       ｙ＝── Σ（ｙi）
           ｍ                       ｎ

              １    m        ＿
     ｕx2＝──── Σ（ｘi－ｘ）²
            ｍ－１

              １    n        ＿
     ｕy2＝──── Σ（ｙi－ｙ）² 
            ｎ－１

ｕx2、ｕy2 の大きい方を分子として

      ｐr＝ｕx2/ｕy2

を求める。自由度 ｎ1＝ｍー１、ｎ２＝ｎ－１のＦ分布。

      Ｆ(m-1, n-1, α)＝Ｆo

のＦoを求める。Ｆ＞Ｆo ならば、危険率αで、Ｘ，Ｙに差あり。
　Ｆ＜Ｆo ならば、仮説Ｈとして、「母平均が同じである」とする。次を続ける。
            ＿  ＿
           (ｘ－ｙ)^2        ｍｎ
      Ｆ＝────── ・ ────
             ｗ2           ｍ＋ｎ
ただし、
              (ｍ－１) ｕx2 ＋(ｎ－１)ｕy2
      ｗ2＝ ─────────────────
                     ｍ＋ｎ－２
を計算する。

      Ｆ(１, m+n-2, 5%)＝Ｆo 

を求める。Ｆ＞Ｆo のとき、５％危険率で差あり。Ｆ＜Ｆo のとき、差に意味なし。

●例１  Ａ、Ｂ群の兎の箱に入れてからテコを押すまでの時間（秒）は、
それぞれ
      Ａ群：0.98, 1.08, 1.01, 1.05, 1.11, 1.04, 1.07, 1.03, 1.12
      Ｂ群：0.92, 1.06, 1.03, 0.99, 0.96, 0.99, 0.97, 1.02, 0.95

であった。Ａ群とＢ群に違いがあると判断してよいか。

       ＿                     110434�01050      119384
       ｘ＝105.9     ｕx2＝ ───────＝ ───── ＝1326.4
                                   9              9

       ＿                     87965�0889         87076
       ｙ＝88.9      ｕy2＝ ───────＝ ───── ＝9675
                                   9              9

それで、Ｆ＝1.37     Ｆ(9-1, 9-1, 0.05)＝3.18＝Ｆo  Ｆ＜Ｆo 

             9*13264＋9*9675        206451
      ｗ2＝ ───────── ＝ ─────＝11469.5
                  18                  18

            16.1^2          100      1296
      Ｆ＝────── ・ ────＝────＝0.11
            11469.5          20      11469

自由度は Ｆ（1, 18, 0.05)＝4.41     Ｆ＜Ｆo であるので、有意差なし。

●３標本以上の平均値の差の有意検定（ 一元配置法)  ３つ以上の標本

              →列 j
         ｜  1    2    3    4    5    6  ｜ 和  ｜単位数｜平均
     ─────────────────────────────
       1 ｜ d11  d21  d31  d41  d51  d61 ｜ T.1 ｜  6   ｜ x.1
  ↓   2 ｜ d12  d22  d32  d42           ｜ T.2 ｜  4   ｜ x.2
  行   3 ｜ d13  d23  d33  d43  d53      ｜ T.3 ｜  5   ｜ x.3
   i   4 ｜ d14  d24  d34                ｜ T.4 ｜  3   ｜ x.4
     ─────────────────────────────
                                         ｜ T   ｜ 18   ｜ x
間の有意検定。 そのためには、次の値を出す。

全変動   □＝Σ(dij－x)²
             ij
              4
行間変動 △＝Σ 各行単位数 (行平均 － 全平均)²
             i=1
              4
行内変動 ○ ＝Σ {  Σ(dij－x.j) }
              i=1   j

（全変動＝行間変動＋行内変動）

つぎに、分散分析表を作る。

            変動    自由度    不偏分散

  行間       △      4-1 　    △/(4-1)            △/(4-1)
  行内       ○      18-4      ○/ (18-4)    Ｆ＝ ──────
  全変動     □      18-1                          ○/(18-4)

    F(4－1, 18－4, 0.05)＝Fo 　Ｆ＞Ｆo のとき、5% の危険率で列間差あり。

●例１ ３匹のウサギＡ1、Ａ2、Ａ3の５分間のテコ押し回数は次のようで
あった。ウサギのテコ押し回数間に差があるか。

        Ａ1    22    22    18    23    20
        Ａ2    16    16    26    23
        Ａ3    25    16    11     5

まず、各値から、20を引き、簡単にする。

                                      │ 和 │単位数│ 平均
      ───────────────────────────
       Ａ1 │   2   2   -2    3   0   │ 5  │  5   │  1
       Ａ2 │  -4  -4    6    3       │ 1  │  4   │  0.25
       Ａ3 │   5  -4   -9  -15       │-23 │  4   │-23/4
      ───────────────────────────
        Σ                              -17    13     -17/13

      全変動  ＝(4＋4＋4＋9＋16＋36＋9＋25＋16＋81＋225)－289/13
              ＝445－22.2
              ＝422.8 
      行間変動＝(25/5＋1/4＋529/49)－228/13＝115.3
      行内変動＝422.8－115.3＝307.5

分散分析表をつくる。

            │  変動  │ 自由度  │   不偏分数 
     ──────────────────────
      行間  │  115.3 │  3-1    │ 　 57.64  
      行内  │  307.5 │ 13-3    │  　30.75  
     ──────────────────────
           57.64
     Ｆ＝ ──── ＝1.64
           30.75

     Ｆo＝Ｆ(3-1, 13-3, 5%)＝4.1  
     
     Ｆ＜Ｆo　　従って、５％の危険率で差ありと認められない。

●三標本以上の平均値の差の有意検定（二元配置法  分散分析法)
表を作る
                       →列 j
            │   B1     B2     B3     B4   │ 平均
       ──────────────────────
   ↓    A1 │  d11    d12    d13    d14   │ x1.
   行    A2 │  d21    d22    d23    d24   │ x2.
   i     A3 │  d31    d32    d33    d34   │ x3.
       ──────────────────────
       平均 │  x.1    x.2    x.3    x.4
         _
全平均   x＝Σ(dij)/n
            ij       _
全変動   □＝Σ(dij－x)²
             ij
              4                   _
行間変動 △＝Σ 各行単位数 (xi.－ x)²
             i=1
              4                   _
列間変動 ○＝Σ 各列単位数 (x.j－ x)²
             j=1
                               _
残差     ◇＝ΣΣ(dij－xi.－xj.＋x)²
              i j

（全変動＝行間変動＋列間変動＋残差）


          │ 変動 │ 自由度   │ 不偏分散      │
     ───────────────────────────────
     行間 │ △   │ 3-1      │ △/(3-1)      │      △/(3-1)
          │      │          │               │Ｆ＝ ───────
          │      │          │               │      ◇/(4-1(3-1)
     ───────────────────────────────
     列間 │ ○   │ 4-1      │ ○/ (4-1)     │      ○/(4-1)
          │      │          │               │Ｆ＝ ───────
          │      │          │               │      ◇/(4-1)(3-1)
     ───────────────────────────────
     残差 │ ◇   │(4-1)(3-1)│ ◇/(4-1)(3-1) │


  Ｆ(3-1, (4-1)(3-1), 5%) 或は、Ｆ(4-1, (4-1)(3-1), 5%) を Ｆo　とし、
  Ｆ＞Fo ならば、危険率５％で要因の影響を受ける（変動）とする。

●例１  Ａ1，Ａ2，Ａ3，Ａ4の４匹の動物にテコ訓練をほどこした。３０回テコ
押しするのに要する時間（分）は次のようになった。訓練の効果に対して個体差、
訓練日数の差が見られるか。Ｂ1は５日目、Ｂ2１０日目、Ｂ3１５日目に測定したもの。

       訓練期間 ＼兎    Ａ1    Ａ2   Ａ3    Ａ4
      Ｂ1  (５日)       8.5    7.6   8.7    9.0
      Ｂ2(１０日)       7.9    7.4   8.2    7.7
      Ｂ3(１５日)       8.3    7.0   8.2    9.2

                             →行
              │   Ａ1   Ａ2   Ａ3    Ａ4    │    和
     ─────────────────────────
   ↓    Ｂ1  │    3     -6     5      8    │    10
   列    Ｂ2  │   -3     -8     0     -5    │   -16
         Ｂ3  │    1    -12     0     10    │    -1
     ─────────────────────────
         和   │    1    -26     5     13    │    -7

    全変動＝477-4.08＝472.92
    列間  ＝  286.25
    行間  ＝   85.17
    残差  ＝  472.92-(286.25＋85.17)＝101.5

         │     変動     自由度             │ Ｆ   │   Ｆo
    ───────────────────────────────
    列内 │   286.25      4-1        95.40  │ 5.64 │  >4.76  個体差あり
    行内 │    85.17      3-1        42.9   │      │
    残差 │   101.50   (4-1)(3-1)    16.9   │ 2.56 │  <5.14  訓練差なし

列が、Ｆ＞Ｆoある。


５－５。スチューデントの検定法
  ゴセットが標本平均から母集団平均を検定するのに、ｔ分布を用いて精確に解いた。
これが、歴史的に、精密標本論における画期的方法となった。

●標本平均値と１データ値の差の検定  正規母集団 Ｎ(ｍ，σ2）から標本

    ｛ｘ１,・・・・・・, ｘn｝        （ｎ≧2）

を取り出した。このとき、１データｍoは、この正規母集団に属するか。
母集団の母数ｍ，σ2が共に未知。このとき、仮説Ｈとして、「ｍoは、この母集団
平均に等しい」とする。
             ＿
            (Ｘ－ｍo)
      ｔ＝ ──────
              SEM

を計算する。ただし

      ＿    1
      Ｘ＝ ── Σ Ｘi
            n

            1            ＿
      ｓ2＝── Σ（Ｘi－Ｘ）² 
            n

                ｓ2
      SEM＝ √────￣    ・・・・・Standard Error of the Mean
               ｎ－１

偶然変数ｔは、自由度ｎ－１のｔ分布をする。従って

      ｔ(|n-1|, 0.01)＝ｔo

を求める。

       |ｔ|＞ｔo

ならば、仮説Ｈを棄てる。

       |ｔ|＜＝α

ならば、仮説Ｈを棄てない。

●例  10個の 標本で、平均 100、SEM 8 。この標本では、80 は 
significant deviationか？

           80 － 100
    ｔ＝ ──────＝2.5
              8

    ｔ(9, 5%)＝2.26
    ｔ(9, 2%)＝2.82

の間。危険率５％ならば、有意の差。

●二標本の平均値の差の検定  ２のデータ群の平均間に有意な差があるかを求める。
                   ＿                       ＿
  group1 n1個、平均ｘ1 で SEM1、 group2 n2、ｘ2 で SEM2 とする。
                  ＿   ＿
                  ｘ1－ｘ2
      ｔ＝ ────────────
            √ (SEM1)² ＋ (SEM2)²￣

      自由度=(n１－１)＋(n2－１)

●例  腓腹筋を刺激したとき持ち上げられる最大荷重は、対照群と
神経をを切って７日群で次の通り。差があるか。
 ─────────────────────────────
｜ No  ｜1  ｜2  ｜3  ｜4  ｜5  ｜6  ｜7  ｜8  ｜9  ｜10 ｜
 ─────────────────────────────
｜対照 ｜75 ｜96 ｜32 ｜41 ｜50 ｜39 ｜59 ｜45 ｜20 ｜33 ｜
｜切断 ｜53 ｜67 ｜21 ｜29 ｜35 ｜37 ｜37 ｜30 ｜21 ｜10 ｜
 ─────────────────────────────

 ──────────────
｜ μ  ｜ √S2   ｜  SEM    ｜
 ──────────────
｜ 50  ｜  21.2  ｜   7.1   ｜
｜ 30  ｜  13.7  ｜   4.1   ｜
 ──────────────

  自由度 18。
              50-33            17
     t＝ ──────── ＝ ─── ＝1.91
         √ 7.1²+4.1²￣       8.9

     ｔ(18, 1%)＝2.87
     ｔ(18, 5%)＝2.10

これは有意な差ではない。

●対をなす標本間の差の検定  上述の例で、二つの group 内でのバラツキ
が大きいため有意と認められない。それで一つ一つの動物について、比較すれば
有意の差が認められるかも知れない。このようにすれば、個体内のバラツキが
大きすぎるために隠された有意の差を出すことも出来る。計算すると

 ───────────────────────
｜(対照群－実験群)の平均 ｜ √S2   ｜  SEM    ｜
 ───────────────────────
｜        17             ｜  6.5   ｜  2.3    ｜
 ───────────────────────
           17
     t＝ ─── ＝7.39
           2.3

     ｔ(9,  1%)＝3.25
     ｔ(9,  5%)＝2.26

であるから、有意な差。


５－６。検定法（雑）

●比率に関する検定（Ｆ－分布）  母集団分布が、事象Ｅの定義偶然変数が
定める分布。すなわち

      ｐ(Ｘ＝1)＝ｐ,  ｐ(Ｘ＝0)＝１－ｐ

の場合。
　仮説Ｈとして、

      ｐ(Ｅ)＝ｐo

とおく。母集団Ｐからの大きさｎの標本を

     ｛ｘ1,・・・ｘn｝

とする。ｘiは 0 または １ である。標本中ｆ個が１、ｎ－ｆ個が 0 。
ｆ（ に対応する偶然変数Sn）の分布は二項分布 Ｂ(ｎ, ｐo)である。

  (a)ｆ/ｎ＜ｐo の場合、自由度２(ｆ＋１), ２(ｎ－ｆ)のＦ分布に対して、

      ｐ(Ｚ_{2(m-1),2(n-f)} ＞λ）＝ 0.01

にλを定めると、

           Ｓn       ｆ
      ｐ( ─── ≦─── ）
            ｎ       ｎ

      ＝ｐ(Ｓn≦ｆ) )

         f
      ＝ Σ  nＣr ｐo^r (１－ｐo)^n-r
         r=0

      ＝ ｐ(Ｚ_{2(f-1),2(n-f)}＞λo）

                (ｎ－ｆ)ｐo
      λo＝ ──────────
              (ｆ＋１)(１ーｐo)

となる。ゆえに

      λo＞λ

ならば、仮説Ｈは棄てる。また

      λo≦λ

ならば、仮説Ｈは棄てない。

  (b)ｆ/ｎ＞ｐo の場合。自由度 ２((ｎ－ｆ)＋１), ２ｆ のＦ分布に対して

      ｐ(Ｚ_2(n-f+1),2f) ＞λ）＝ 0.01

にλを定めると、

            Ｓn       ｆ
      ｐ( (─── ≦───）
             ｎ       ｎ

      ＝ｐ(Ｓn≦ｆ) )

         n
      ＝ Σ nＣr ｐo^r (１ーｐo)^n-r
         r=f

      ＝ ｐ(Ｚ_2(n-f+1),2f ＞λo）

               ｆ(１－ｐo)
      λo＝ ──────────
             (ｎ－ｆ＋１)ｐo

となる。ゆえに

      λo＞λ

ならば、仮説Ｈは棄てる。

      λo≦λ

ならば、仮説Ｈは棄てない。

●二つの平均の比較に関する検定（ｔ分布）  二組の正規母集団Ｐ１とＰ２
とがある。それぞれの分布 Ｎ(ｍ1,σ2）とＮ(ｍ2、σ2）。分散σ2 の値は不明で、
等しい。仮説Ｈとして”両者の母集団平均は相等しい：ｍ1＝ｍ2”とおく。Ｐ1, Ｐ2
に属する大きさｍ�$ｎの任意標本

     ｛ｘ1, ｘ2,・・・ｘm｝, ｛ｙ1,ｙ2,・・・ｙn｝

より
      ＿    １  m           ＿   １   n
      ｘ＝ ── Σ ｘi,     ｙ＝── Σ ｙi
            ｍ  i=1              ｎ  i=1
        ＿  ＿
を作る。ｘ－ｙ に対する偶然変数は

      ＿  ＿   １       １           １     －１     －１         －１ 
      ｘ－ｙ＝──ｘ1＋──ｘ2＋・・──ｘm＋──ｙ1＋──ｙ2＋・・──ｙn
               ｍ       ｍ           ｍ       ｎ       ｎ           ｎ

となる。仮説Ｈの下では、ｘ1�$・・・ｘm、 ｙ1・・・ｙn は独立で、Ｎ(ｍ1, σ2）
          ＿  ＿
を定める。ｘ－ｙの分布は

              １    １
     Ｎ(0,  (──＋──)σ2 ）
              ｍ    ｎ

である。従って 
      ＿  ＿       ｍｎ
     (ｘ－ｙ) √(────)￣ ／σ
                  ｎ＋ｍ

の分布は Ｎ(0，1）である。一方

             m       ＿      n       ＿
      ｗ2＝ Σ（ｘi－ｘ）² ＋Σ（ｙj－ｙ）²
            i=1              j=1
                                                            ＿  ＿
を作る。ｗ２／σ2は、自由度ｍ＋ｎ－２のχ2分布をなす。また、ｘ－ｙ とｗ２ 
とは独立である(証明略)。それで、

           ＿  ＿      ｍｎ                ｗ2 
      Ｔ＝(ｘ－ｙ)√(────)￣ ／ √(──────)￣ 
                      ｎ＋ｍ           ｍ＋ｎ－２

は自由度(m＋n－2)のｔ分布を定める。

      t(m+n-2, 1%)

となるｔoを定め、Ｔの値が

       |Ｔ|＞ｔo

ならば、仮説Ｈを棄て、

       |Ｔ|≦ｔo

ならば、仮説Ｈを棄てない。

●相関係数に関する検定（ｔ－分布）  母集団分布は２次元正規分布

      Ｎ(ｍ1, ｍ2, σ12, σ22, ρ）

で、ｍ1, ｍ2, σ12, σ22, ρがすべて未知の場合。仮説Ｈとして、”母集団相関
係数ρ＝0”とおく。この母集団からの任意標本

      {(ｘ1,ｙ1), (ｘ2,ｙ2),・・・(ｘn,ｙn)｝
から
                １            １   n        ＿       ＿
      ｒ＝────────  ─── Σ (ｘi－ｘ)(ｙj－ｙ)
          √ｓ2x￣√ｓ2y￣    ｎ  i=1

を計算する。仮説Ｈの下で、ｒは自由度ｎ－２のｔ分布 する。
                         λ
      ｔ(｜n-2｜, 0.01 )

のｔoを定め

                  ｔo
      ｒ＞ ──────── 
            √ｔo²＋ｎ－２￣

ならば、仮説Ｈは棄てられ、

                  ｔo
      ｒ＜＝ ──────── ) 
             √ｔo²＋ｎ－２￣

ならば、仮説Ｈは棄てられない
  (ｂ)仮説Ｈとして”母集団相関係数は ρ に等しい”とおく。任意標本より計算
した ｒ およびρ より、付表によって

            １        １＋ｒ
      ｚ＝─── log ────
            ２        １－ｒ

および
            １        １＋ρ
      ｓ＝─── log ────
            ２        １－ρ

を求めると、ｚ(に対応する偶然変数Z)は、ほぼ正規分布

                   ρ          １
      Ｎ(ｓ＋ ───── ,  ──── )
               ２(ｎ－１)    ｎ－３

を定める。

                       │              １       │
      ｐ ( √ｎ－３￣・│(Ｚ－ｓ－ ──────)│＞2.58 )＝0.01
                       │           ２(ｎ－１)  │

は、ほぼ Ｎ(0, 1) を定める。従って

                  │               １      │
      √ｎ－３￣・│(Ｚ－ｓ－ ──────)│＞2.58
                  │           ２(ｎ－１)  │

である。よって
                               １
      √ｎ－３￣・(Ｚ－ｓ－ ─────)＞2.58
                           ２(ｎ－１)

ならば、仮説Ｈは棄てる。
                                １
      √ｎ－３￣・(Ｚ－ｓ－ ─────)＝＜2.58
                            ２(ｎ－１)
ならば、仮説Ｈは棄てない。



VI. ノンパラメトリック検定
６－１。変位値  中央値、四分数
  観察したｎ個（回）のデータを大きさの順に並べる。ｎ／ｐ個目ごとのものを、
マークし、そのデータ値をｐなる変位値 とよぶ。（すなわち、変位値とは、
全データを与えられた比率ｐで分割するデータ値。特に
    1）ｐ＝2は、中央で、メデアン(median)
    2) ｐ＝4, 5, 6, 10 は、それぞれ、四分数 quartiles, quintiles, sextiles,
   　  deciles;
    3) ｐ＝100 は、centiles or percentiles.

６－２。マン・ウイットニイのＵ－検定
  標本（Ｘ∪Ｙ）

     Ｘ(ｍ)＝(ｘ1, ｘ2, ｘ3・・・・・・ｘm)
     Ｙ(ｎ)＝(ｙ1, ｙ2, ｙ3・・・・・・ｙn)

に違いがあるかを検定する（パラメトリックのｔ検定に対応）。
  そのために、データセット（Ｘ ∪ Ｙ）をつくる。ソートする。各データにランク
づけ。その内セットＸに属するランクの合計

      Ｒ1＝Σ Rank

をつくる。統計量
                  ｍ(ｍ＋１)
      Ｕ＝ｎｍ＋ ────── －Ｒ1
                     ２

                             ｎ(ｎ＋１)
      Ｕ'＝ｎｍ－Ｕ＝ｎｍ＋ ────── －Ｒ2  (但しＲ2はＹのランク合計)
                                ２

を求める。ＵとＵ’のうちの小さい値を検定量として用い、表を引く。
ｎ＋ｍ＞20 のサンプルの場合は、正規分布で近似；Ｚ(normal deviate)を用いる。

                                      ｎｍ
                              Ｕ－ ─────
           Ｕ－μ_u                     ２
      Ｚ＝───── ＝ ──────────────
             σ_u               ｍ (ｎ＋ｍ＋１)
                           √ ─────────￣
                                     １２

tied rank の場合は次のようにする。
      値        １, ５, ８, ８, ８,１２,１８・・・・・・
      ランク    １, ２, ４, ４, ４,  ６,  ７・・・・・・

＜Prog 6-1＞
  Ｕ検定を行い結果を出すためのプログラム。


６－３。コルモゴロフ、スミルノフ (Kolmogorov-Smirnov)の検定
●１標本の場合  標本が特定の分布（理論的に仮定された）の母集団から
抽出されたか否かの検定。
　　　Ｆo(ｘ)  理論的分布関数。
　　　Ｓn(ｘ)  実験の相対累積度数。

       Ｄ＝ max ｜Ｆo(ｘ)－ Ｓn(ｘ)|

Ｐr(Ｄ≧Ｄα)＝αとなる Ｄα を付表で見出す。N≧35のとき、

       Dα＝1.36/√Ｎ￣        (但しＰr＝0.05)

●２標本の場合－両側検定  ２つの標本が同じ母集団から抽出されたか否か。
　　　Ｓn１(ｘ)を、実験１からの相対累積度数。
　　　Ｓn２(ｘ)を、実験２からの相対累積度数とする。

      Ｄ＝max｜Ｓn1(ｘ)－Ｓn2(ｘ)｜

Ｐr(Ｄ≧Ｄα)＝αとなる Ｄαを、付表で見出す。Ｎ≧35 のとき、
                    ｎ1＋ｎ2
      Dα＝1.36  √ ─────￣      (但しＰr＝0.05)
                    ｎ1・ｎ2

●２標本の場合－片側検定　標本１が標本２より大きいか否か。
　　　Ｓn１(ｘ)を、実験１からの相対累積度数。
　　　Ｓn２(ｘ)を、実験２からの相対累積度数とする。

      Ｄ＝max｜Ｓn1(ｘ)－Ｓn2(ｘ)｜

                     ｎ1＋ｎ2
      χ2＝４Ｄ2  √ ─────￣             (df=2の所)
                     ｎ1・ｎ2

が、αに対して示された値より大きければ否定。


VII. 時系列分析
７－１。シリアル・コリログラム(Serial Correlogram)
  標準化した 時間間隔Ｔi とそれにｊ個遅れている Ｔi+j をかけ、その個数で割る。
これを、ｊ次のシリアル・コリログルムという。すなわち、
               １
      ρj ＝ ─── Ｅ[(Ｔi－μ)(Ｔi+j－μ)]
              σ2

                １               １
          ＝Σ ──(Ｔi－μ) ・ ──(Ｔi+j－μ)
                σ               σ

  ＜例＞  下記の128 個の時間間隔のシリアル・コリログラムを下に示す。
   128
   1972   1727   1776   2234   1773   1741   1774   2027   2029   1821
   1719   1955   1962   1899   2149   1728   2095   1775   1843   2271
   2286   2192   1893   1799   1769   1826   1720   2282   2151   1834
   1887   2050   2135   1762   2034   1772   1946   1761   2193   2204
   1665   2087   1726   1904   2257   1745   2189   2153   2023   1670
   1775   1744   1852   1848   2099   1953   2162   1702   1847   1746
   1646   1669   1982   2239   1672   2192   2284   1746   2199   1964
   2113   1771   2251   2159   2222   1987   1940   2088   2135   1939
   2040   2192   1740   1937   2039   1780   2258   1857   1846   2180
   2119   2133   2179   2048   1927   1714   2264   2070   2246   1848
   1654   1867   1831   1966   2194   1731   1660   1759   1858   1859
   2084   2272   2034   1873   1715   1774   1653   1806   1778   2147
   1697   2106   2228   1900   1987   1870   1909   1651

 Total Num=128  Mean=1948.367188  Var=37105.800781

	|....|....|....|....|....I....|....|....|....|....|
 0.07	                         I  *                     
 0.06	                         I  *                     
-0.02	                         *                        
-0.15	                  *      I                        
-0.15	                  *      I                        
-0.07	                      *  I                        
 0.29	                         I             *          
 0.02	                         I*                       
 0.09	                         I   *                    
 0.02	                         I*                       
 0.19	                         I        *               
 0.19	                         I        *               
 0.02	                         I*                       
-0.06	                      *  I                        
-0.10	                     *   I                        
-0.18	                *        I                        
-0.15	                  *      I                        
 0.20	                         I         *              
 0.06	                         I *                      
 0.10	                         I    *                   
 0.01	                         *                        
-0.03	                        *I                        
-0.23	              *          I                        
 0.16	                         I       *                
 0.14	                         I      *                 
-0.00	                         *                        
 0.24	                         I          *             
-0.02	                         *                        
-0.35	        *                I                        
-0.11	                    *    I                        

＜Prog 7-1＞
シリアル・コリログラム (schuffle付き）: SERCOR.C

７－２。指数分布
  EVENTがランダムに生じるとき、生じる時間間隔は指数分布をとる。

      ｐ(ｔ)＝λｅ^-λｔ

      Ｐ(ｔ)＝λ

●他の分布との関係  Weibull分布で ｍ＝１のとき指数分布。ガンマ分布で 
ａ＝１のとき指数分布。ポアソン分布との関係はポアソン分布の項参照。。

７－３。ポアソン分布
  二項分布 Ｂ(ｎ,ｐ)で、ｎｐ＝ｍ＝一定（平均）のとき、ｎを大にする（ｐは
小となる）と
                 ｍ^x ｅ^-m
      ｐ(ｘ)＝ ─────
                   ｘ！

この分布をポアソン分布という。ｐ＜0.1 かつ ｎ＞５０ で実用。
その期待値、分散は

       μz(ｘ)＝ｍ
       σ2(ｘ)＝ｍ

●二項分布とポアソン分布の関係  二項分布

      ｐ(ｘ)＝nＣx Ｐ^x (１－ｐ)^n-x

おいて、ｐ＝ｍ／ｎ（ｍ＝ｎｐ）とすると、

       ｎ(ｎ－１)(ｎ－２)・・・(ｎ－ｘ＋１)   ｍ^x          ｍ        ｍ
    ＝ ────────────────── ─── (１－ ──)ⁿ(１－ ──)^-x
                       ｎ^x                    ｘ！        ｎ         ｎ

ｎ→∞とすると

      ｎ  (ｎ－１) (ｎ－２)・・・(ｎ－ｘ＋１)
     ── ──── ────      ──────     →１
      ｎ     ｎ       ｎ              ｎ

            ｍ
     (１－ ──)^-x                     →１
            ｎ
                                  _m
            ｍ              ｍ  - ─ 
     (１－ ──)ⁿ＝［(１－ ──)  ⁿ  ］^m →(ｅ^-1)m
            ｎ              ｎ

結局
                 ｍ^x ｅ^-m
      ｐ(ｘ)＝ ─────
                   ｘ！

となる。ただし、ｍ ー定であるから、ｎ→大 とすると、ｐ→ 0 と小となる。

------------------------------------------------
(注)
                １      １      １                           １
      ｅ＝１＋ ── ＋ ── ＋ ── ＋・・・・・＝lim (１＋ ──)^k
               １！    ２！     ３！             k→∽       ｋ
(注終り)

指数分布とポアソン分布の関係  ある event が一定時間内に生じる頻度が
ポアソン分布に従うとき、その event の生じる時間間隔は指数分布をとる。
  客が、時間Ｔの間に、ｘ人やって来る確率が

                    （λＴ）^x
      Ｐx(Ｔ)＝ｅ^-λT ──────
                       ｘ！            ｘ ＝0, 1, 2・・・・ 

のとき、ポアソン到着という。このとき、到着間隔をｔとすれば、その確率関数

       ｐ(ｔ)＝ｅ^-λｔ

は指数分布。この定理から、ポアッソン到着の場合、到着間隔の平均値
             １
      ｔo＝───
             λ

であることが証明された。客が到着率λでやって来れば,到着間隔の平均は
１／λ となっている。きわめて常識的。

＜証明＞
  Ｐx(Ｔ) は、Ｔ時間内にｘ人の客がくる確率を示す。いま０人の客がやって来る
（客が１人もいないこと）確率はｘ＝０とおいて


                    （λＴ）⁰
      Ｐo(Ｔ)＝ｅ^-λT ──────   ・・・・・・（１）
                     0！

となる。
                      到着         長さＴ        到着
                      ↓                         ↓
                      ─────────────────
                       O                          Ｔ


  Ｐo（Ｔ）は時間Ｔの間に客が誰も来ない確率。見方をかえると、時刻Ｏで、客が
きて、次の客は時刻Ｔで到着する確率。すなわち、あいついで到着する２人の客の
到着間隔がＴよりも大きくなる確率を表していると考えていい。ｔの確率関数を
ｇ（ｔ）とすると、到着間隔がＴより大きくなる確率は

      ∽
      ∫  ｇ(ｔ) ｄｔ
      T

と書ける（下図参照）。

        │
        │          * *
        │        *      *
        │       *         *
  ｇ(ｔ)│     *               *
        │  *                       *
        │                          │／  *
        │                          │／／／／／   *
        │                          │／／／／／／／／／／      *
          ──────────────────────────
        0                           T                   到着間隔

またこの値は、Ｐo（Ｔ）に等しいから(1)の関係を使うと

      ∽
      ∫  ｇ(ｔ) ｄｔ＝ｅ^-λt ・・・・・・・(2)
      T 

また、到着間隔がＴより小さくなる確率は

      T                    ∽
      ∫ ｇ(ｔ) ｄｔ＝１－ ∫ ｇ(ｔ) ｄｔ＝１－ｅ^-λt
      0                    T

となる。両辺をTで微分すれば

      ｇ(T) ｄｔ＝１－ｅ^-λT

となる。すなわち、時間間隔は、パラメータλの指数分布になることを示している。

７－４。ワイブル分布
  ワイブル分布の確率密度関数は、
                ｍ                 ｘ
      ｐ(ｘ) ＝── ｘ^m-1  exp(－ ──)
                α                 α

αは「尺度」パラメタと呼ばれる。ｍ は「形」のパラメタと呼ばれる。ｍ＝１
のとき、指数分布となる。
分布関数は、
                            ｘ^m
      Ｐ(ｘ) ＝１－ exp(－ ──)
                            α
である。平均値、分散は
                                   1
      μ(ｘ)＝α^1/m Γ(──＋１)
                                   ｍ

                                     1                1
      σ(ｘ)＝α^2/m { Γ(──＋１) － Γ²(──＋１) }
                                     ｍ               ｍ

  また、故障率関数として、

              ｍ
     Ｚ(ｘ)＝── ｘ^m-1
              α

が、定義でき、
  ｍ＞１で、生起確率が時間とともに低下する。
  ｍ＝１で、変わらない。すなわち、ランダムな生起である。
  ｍ＜１で、段々増す。

  ワイブル分布は、

      Ｘ＝log ｘ,
      Ｂ＝log α, 
      Ｙ＝log log［１－Ｆ(ｘ)］－１

とすれば�$

      Ｙ＝ｍＸ－Ｂ

となり、Ｘ,Ｙを最小二乗法であてはまることができ、ｍ,αを求め事が出来る。

  ブレーク点をもって、時間とともに生起の仕方が変化する現象は、複合
ワイブル分布(composite Weibull distribution) でエミレートする事が出来る。

＜Prog 7-2＞
最少二乗法による複合ワイブル分布ヘの当てはめ。
  （ａ）観測点全体(ｘi, ｙi i=1, n) が、上式に最もよくあてはまるよう、
最少二乗法よって、ｍとαをきめる。
  （ｂ）それぞれのデータを上式いれ、理論値からもっとも離れたｉo を求める。
これが、ブレーク点である。
  （ｃ）(ｉ＝１,ｉo) (ｉ＝ｉo,ｎ)の区間でそれぞれ、上式に当てはめを行い、
(ｍ1, α1)と (ｍ2, α2)をもとめる。それぞれの確率密度関数と故障率関数を
算出する。


  ＤＲＬ(differential reinforcement at lower rate)訓練におけるテコ押し間隔
ヒストグラムの複合ワイブル分布への当てはめ。ウサギを「水絶ち」して、水滴を
得るためにテコ押す事を訓練する。つぎに、一回水滴を得たら、５秒間、テコを
押さないでの次のテコ押しのみ強化する。２０回セッション目。

┌──────────────────────────────┐
｜15   1                                             ←総数・時間間隔
｜13.  22. 61. 11.  6. 10. 15. 24  18. 26. 17.  9.  4.  0.  1. ←頻度
└──────────────────────────────┘
                           ↓
┌─────────────────────────────┐
｜whole data X=1～11 ---------------------------------      ｜
｜ I      x    F(x)    log(x)   loglog     line     diff    ｜
｜                                                          ｜
｜ 0      1    0.302   0.000    -1.023    -1.023    0.000
｜ 1      2    0.356   0.693    -0.819    -0.245    0.575
｜ 2      3    0.386   1.099    -0.717     0.210    0.928
｜ 3      4    0.436   1.386    -0.558     0.533    1.092
｜ 4      5    0.510   1.609    -0.338     0.784    1.122
｜ 5      6    0.629   1.792    -0.009     0.989    0.998
｜ 6      7    0.718   1.946     0.235     1.162    0.927
｜ 7      8    0.847   2.079     0.628     1.312    0.683
｜ 8      9    0.931   2.197     0.982     1.444    0.462
｜ 9     10    0.975   2.303     1.308     1.562    0.254
｜10     11    0.995   2.398     1.669     1.669    0.000
｜
｜ρxy=0.891   Y=1.096X-1.621  m=1.096167  α=5.057021
｜ 1  17.9     2  34.5     3  48.3    4  59.5      5  68.5
｜ 6  75.6     7  81.2     8  85.5    9  88.9     10  91.5
｜11  93.5
｜
｜Break=4
｜
｜X=1～4  ---------------------------------
｜0        0.000        -1.023
｜1        0.693        -0.819
｜2        1.099        -0.717
｜3        1.386        -0.558
｜
｜ρxy=0.989   Y=0.320X-1.034 m=0.320202  α=2.812235
｜ 1  29.9      2  35.9    3  39.7    4  42.6      5  44.9
｜ 6  46.8      7  48.5    8  49.9    9  51.3     10  52.4
｜11  53.5
｜
｜X=4～11  ----------------------------------
｜ 4       1.609        -0.338
｜ 5       1.792        -0.009
｜ 6       1.946         0.235
｜ 7       2.079         0.628
｜ 8       2.197         0.982
｜ 9       2.303         1.308
｜10       2.398         1.669
｜
｜ρxy=0.989   Y=2.542X-4.563 m=2.542222  α=95.860113
｜ 1   1.0      2   5.9    3  15.7    4  29.8      5  46.4  ｜
｜ 6  62.9      7  77.0    8  87.3    9  93.8     10  97.4  ｜
｜11  99.0                                                  ｜
└─────────────────────────────┘

これらの結果をワイブル確率紙にプロットする。

＜図７－１＞

７－５。γ分布
  ガンマ分布とは、ｔo を平均値、 σ は分散としたとき、確率密度関数

              ｋ^a ｔ^a-1 ｅ^-kt
      ｐ(ｔ)＝────────
                 Γ(ａ)

となる分布である。ここで、

            ｔo
      ｋ＝ ───
            σ²

                      ｔo
      ａ ＝ｋｔo ＝ (───)²
                       σ
である。ガンマ関数とは
                    ∽
      Γ(ａ＞１) ＝ ∫ ｅ^-x ｘ^a-1 ｄｘ
                    0  

                 ＝（ａ－１）（ａ－２）・・・Γ（0≦ａ－ｎ≦１）


●ガンマ分布の性質 
  Γ(a) が１ に近くなると指数分布に近くなり、Γ(a)が０に近づくと正規
分布に近くなる。あらゆる分布をシミレート出来る。

＜例＞  てこ押しの生起潜時をガンマ分布に当てはめる。
(イ) 潜時ヒストグラムの総数 Ｎ、潜時測定のビン巾をＺとする。    
(ロ) ビンごとの頻度入力


＜Prog 7-3＞
ガンマ分布ヘの当てはめ： FITGAMM.C

ネコに光刺激によってテコをすると水を得るように訓練した。
光がついてからテコ迄の時間、反応時間(秒) は、

N=49  
24  14  27  27  11  14  20  27  24  25
26   9   9  19  29  29  10  20  15   8
14  16  18  14  14  26  27  17  22  27
19  28  20   8  18  18  18  29  25  10
20  20  13  17  20  22  12  11  25  24
19  13  19  19  19  14  28   9  23  11
22  15  25   9  22  16   8  10  12  29
13  21  16  17  13  19  21  14  17   9
20  27  16  27   9  20   8  11  11

であった。
これから、ビン巾0.2秒ごとの反応時間の頻度のヒストグラを作る。すると、

時間(秒) 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6 2.8 3.0 3.2 3.4
頻度     1.  1.  1.  11. 22. 18. 16. 3.  3.  1.  1.  2.  1.  0.  1.  0.  1.

であった。これを、これをガンマ分布に当てはめることを試みる。すると、

mean =1.055
sigma=0.255
k    =4.143
a    =4.372
fact =10.980
Γ   =2.338
Γ*f =25.675

Observed           Expected:
 1.2                 3.7
 1.2                16.9
 1.2                29.0
13.3                33.4
26.5                30.9
21.7                25.0
19.3                18.3
 3.6                12.6
 3.6                 8.2
 1.2                 5.1
 1.2                 3.1
 2.4                 1.8
 1.2                 1.0
 0.0                 0.6
 1.2                 0.3
 0.0                 0.2
 1.2                 0.1

であった。この例はガンマ分布に合わないことがわかる。。


VIII. 偶然事象のシュミレーション
８－１。乱数発生
●乗算式合同法（Multiplicative congruence method）
  次の式によって、一様乱数を求める。

       ｎ(i+1)≡λｎ(i)＋Ｃ(mod Ｐ)

  すなわち、任意の数Ｐをきめる。任意の数ｎ(i) をＰで割った残差Ｃが、乱数と
同時に、次に乱数発生のための数となる。かくして、乱数の系列ができる。

＜Prog 8-1＞
乗算式合同法による一様乱数発生。

  このような一様乱数系列は、プログラムの乱数発生用関数をつかても、得られる。
えられた一様乱数系列を Ｕi（＝0～1）とする。

＜Prog 8-2＞
計算機の乱数発生関数による一様乱数発生。

●指数乱数  次の式によって一様乱数系列から発生させる。

       Ｌi＝-100・log(Ｕi)      （ Ｕi＝0～1）

＜Prog 8-3＞
指数乱数の発生。

●ポアソン乱数  ｒo＝1 とし、0-1 間の一様乱数ｒiが、
             x+1
       ｅ^-m＞Πｒi      （ｒi＝0～1）
             i=0

上式を満たすときのｘは、平均ｍのポアソン分布に従う。

＜Prog 8-4＞
ポアソン乱数の発生。

●正規乱数  Ｎ(０，１）
イ）直接法(Box-Muller法）  (ｕi, ｕi+1)が 一様乱数Ｎ(0,1) のとき、

       ｎi＝ －2 log ｕi cos 2π ｕi+1 *100
       ｎi+1＝－2 log ｕi sin 2π ｕi+1 *100

  は、正規乱数を示す。一番正確な方法といわれている。

ロ）平均値の分布を利用する方法  一様乱数Ｎ(0,1)は

                          1
         μ＝0.5   σ2＝ ──
                          12

である。それで、一様乱数 １２個加えると、

         μ＝6     σ2＝1

中心極限定理（2�07参照）により、正規分布Ｎ(6, 1）に近づく。従って、
μ-6, σ2 は Ｎ(0, 1) の乱数。

ハ） Ｎ(μ, σ2)の乱数  Ｎ(0, 1) の乱数発生させ

        ｙ＝χσ2 + μ

でｙに変換する。

＜Prog 8-5＞
方法（ロ）による正規乱数の発生。
統計学（Ｓｔａｔｉｓｔｉｃｓ）

I. 序論：統計学とは何か

II. 偶然の出来事の量的取扱いと確率分布

２－１。偶然変数(random variable; variate)と偶然事象(random event)

２－２。１つの偶然変数

２－３。二つ以上の偶然変数

２－４。二項分布(binominal distribution) Ｂ(ｎ,ｐ)

２－５。正規分布 normal or Gaussian distribution Ｎ(μ，σ2）

２－６。その他の偶然変数分布

２－７。偶然変数分布（雑）、その他

III. 統計分析の基礎１：標本分布

３－１。正規分布をする標本分布

３－２。χ²分布

３－３。Ｆ分布

３－４。Studentのｔ分布

IV. 統計分析の基礎２：変量の整理と概観

４－１。度数分布

４－２。基礎統計量

V. 推定・検定・分散分析

５－１。推定(Estimation)

５－２。検定(Hypothesis testing)の考え方

５－３。χ2(単一標本)検定(one sample test)

５－４。Ｆ－検定法、分散分析法（実験計画法）

５－５。スチューデントの検定法

５－６。検定法（雑）

VI. ノンパラメトリック検定

６－１。変位値中央値、四分数

６－２。マン・ウイットニイのＵ－検定

６－３。コルモゴロフ、スミルノフ (Kolmogorov-Smirnov)の検定

VII. 時系列分析

７－１。シリアル・コリログラム(Serial Correlogram)

７－２。指数分布

７－３。ポアソン分布

７－４。ワイブル分布

７－５。γ分布

VIII. 偶然事象のシュミレーション

８－１。乱数発生
